Käesolevas väljaandes käsitleme ühe peamise geomeetrilise kujundi – kolmnurga – määratlust, klassifikatsiooni ja omadusi. Samuti analüüsime esitletava materjali koondamiseks näiteid probleemide lahendamisest.
Kolmnurga definitsioon
kolmnurk – See on geomeetriline kujund tasapinnal, mis koosneb kolmest küljest, mis on moodustatud kolme punkti ühendamisel, mis ei asu ühel sirgel. Tähistamiseks kasutatakse spetsiaalset sümbolit – △.
- Punktid A, B ja C on kolmnurga tipud.
- Lõigud AB, BC ja AC on kolmnurga küljed, mida sageli tähistatakse ühe ladina tähena. Näiteks AB= a, eKr = b, JA = c.
- Kolmnurga sisemus on tasandi osa, mis on piiratud kolmnurga külgedega.
Kolmnurga küljed tippudes moodustavad kolm nurka, mida traditsiooniliselt tähistatakse kreeka tähtedega - α, β, γ jne. Seetõttu nimetatakse kolmnurka ka kolme nurgaga hulknurgaks.
Nurki saab tähistada ka spetsiaalse märgiga "∠"
- α – ∠BAC või ∠CAB
- β – ∠ABC või ∠CBA
- γ – ∠ACB või ∠BCA
Kolmnurga klassifikatsioon
Sõltuvalt nurkade suurusest või võrdsete külgede arvust eristatakse järgmist tüüpi kujundeid:
1. teravnurkne – kolmnurk, mille kõik kolm nurka on teravad, st alla 90°.
2. rõve Kolmnurk, mille üks nurkadest on suurem kui 90°. Ülejäänud kaks nurka on teravad.
3. Ristkülikukujuline – kolmnurk, mille üks nurkadest on täisnurkne, st võrdub 90°. Sellisel joonisel nimetatakse kahte täisnurga moodustavat külge jalgadeks (AB ja AC). Kolmas täisnurga vastas olev külg on hüpotenuus (BC).
4. Mitmekülgne Kolmnurk, mille kõik küljed on erineva pikkusega.
5. Võrdsed – kolmnurk, millel on kaks võrdset külge, mida nimetatakse külgmiseks (AB ja BC). Kolmas külg on alus (AC). Sellel joonisel on aluse nurgad võrdsed (∠BAC = ∠BCA).
6. Võrdkülgne (või õige) Kolmnurk, mille kõik küljed on ühepikkused. Ka kõik selle nurgad on 60°.
Kolmnurga omadused
1. Kolmnurga ükskõik milline külg on väiksem kui ülejäänud kaks, kuid suurem kui nende erinevus. Mugavuse huvides aktsepteerime külgede standardseid tähistusi – a, b и с… Siis:
b – c < a < b + cAt b > c
Seda omadust kasutatakse joonelõikude testimiseks, et näha, kas need võivad moodustada kolmnurga.
2. Iga kolmnurga nurkade summa on 180°. Sellest omadusest järeldub, et nüri kolmnurga kaks nurka on alati teravad.
3. Igas kolmnurgas on suurema külje vastas suurem nurk ja vastupidi.
Näited ülesannetest
1. ülesanne
Kolmnurgal on teada kaks nurka, 32° ja 56°. Leidke kolmanda nurga väärtus.
Lahendus
Võtame teadaolevad nurgad kui α (32°) ja β (56°) ja tundmatu – taga γ.
Vastavalt omadusele kõigi nurkade summa kohta, a+b+c = 180 °.
Järelikult γ = 180 ° – a – b = 180 ° – 32 ° – 56 ° = 92 °.
2. ülesanne
Antud kolm lõiku pikkusega 4, 8 ja 11. Uurige, kas need võivad moodustada kolmnurga.
Lahendus
Koostame iga antud segmendi jaoks ebavõrdsused ülalpool käsitletud omaduse põhjal:
11 – 4 <8 <11 + 4
8 – 4 <11 <8 + 4
11 – 8 <4 <11 + 8
Kõik need on õiged, seetõttu võivad need segmendid olla kolmnurga küljed.