Fermat' väike teoreem

Selles väljaandes käsitleme üht täisarvude teooria põhiteoreemi -  Fermat' väike teoreemnime saanud prantsuse matemaatiku Pierre de Fermat’ järgi. Esitatud materjali koondamiseks analüüsime ka probleemi lahendamise näidet.

Teoreemi väide

1. Esialgne

If p on algarv a on täisarv, mis ei ole jagatav pSIIS a^p-1 - 1 jagatud p.

See on ametlikult kirjutatud nii: a^p-1 ≡ 1 (vastu p).

Märge: Algarv on naturaalarv, mis jagub ainult XNUMX-i ja iseendaga ilma jäägita.

Näiteks:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• number 15 jagatud 5 ilma jäägita.

2. Alternatiivne

If p on algarv, a mis tahes täisarv siis a^p võrreldav a moodul p.

a^p ≡ a (vastu p)

Tõendite leidmise ajalugu

Pierre de Fermat sõnastas teoreemi 1640. aastal, kuid ei tõestanud seda ise. Hiljem tegi seda Gottfried Wilhelm Leibniz, saksa filosoof, loogik, matemaatik jne. Arvatakse, et tal oli tõend juba 1683. aastaks, kuigi seda ei avaldatud kunagi. On tähelepanuväärne, et Leibniz avastas teoreemi ise, teadmata, et see oli juba varem sõnastatud.

Teoreemi esimene tõestus avaldati 1736. aastal ning see kuulub šveitslasele, sakslasele ning matemaatikule ja mehaanikule Leonhard Eulerile. Fermat' väike teoreem on Euleri teoreemi erijuht.

Näide probleemist

Leidke arvu ülejäänud osa 2¹² on 12.

Lahendus

Kujutagem ette numbrit 2¹² as 2–2¹¹.

11 on algarv, seetõttu saame Fermat' väikese teoreemiga:

2¹¹ ≡ 2 (vastu 11).

Seega 2–2¹¹ ≡ 4 (vastu 11).

Nii et number 2¹² jagatud 12 jäägiga, mis on võrdne 4.