Selles väljaandes käsitleme üht afiinse geomeetria klassikalist teoreemi - Ceva teoreemi, mis sai sellise nime Itaalia inseneri Giovanni Ceva auks. Analüüsime ka probleemi lahendamise näidet, et koondada esitatud materjal.
Teoreemi väide
Kolmnurk antud ABC, milles iga tipp on ühendatud vastasküljel asuva punktiga.
Seega saame kolm segmenti (AA', BB' и CC'), mida nimetatakse cevians.
Need lõigud lõikuvad ühes punktis siis ja ainult siis, kui kehtib järgmine võrdsus:
|JA'| |MITTE'| |CB'| = |eKr| |SHIFT'| |AB'|
Teoreemi saab esitada ka sellisel kujul (määratakse, millises vahekorras punktid pooli jagavad):
Ceva trigonomeetriline teoreem
Märkus: kõik nurgad on orienteeritud.
Näide probleemist
Kolmnurk antud ABC täppidega TO', B ' и C' külgedel BC, AC и AB, vastavalt. Kolmnurga tipud on ühendatud etteantud punktidega ja moodustatud lõigud läbivad ühte punkti. Samas punktid TO' и B ' võetud vastavate vastaskülgede keskpunktides. Uurige, millises vahekorras punkt C' poolitab AB.
Lahendus
Joonistame joonise vastavalt ülesande tingimustele. Mugavuse huvides kasutame järgmist märki:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Jääb vaid koostada segmentide suhe vastavalt Ceva teoreemile ja asendada sellega aktsepteeritud märge:
Pärast murdude vähendamist saame:
Seega AC' = C'Bst punkt C' poolitab AB pooleks.
Seetõttu on meie kolmnurgas segmendid AA', BB' и CC' on mediaanid. Olles ülesande lahendanud, tõestasime, et need ristuvad ühes punktis (kehtib iga kolmnurga puhul).
Märge: kasutades Ceva teoreemi, saab tõestada, et kolmnurga ühes punktis ristuvad ka poolitajad ehk kõrgused.