Thalese teoreem: sõnastus ja ülesande lahendamise näide

Selles väljaandes käsitleme ühte 8. klassi geomeetria põhiteoreemi – Thalese teoreemi, mis sai sellise nimetuse Kreeka matemaatiku ja filosoofi Thalese Mileetose auks. Esitatud materjali koondamiseks analüüsime ka probleemi lahendamise näidet.

Teoreemi väide

Kui ühel kahest sirgest mõõdetakse võrdsed lõigud ja nende otstest tõmmatakse paralleelsed jooned, siis teist sirget ületades lõikavad nad sellelt ära üksteisega võrdsed lõigud.

• A₁A₂ = A₂A₃ ...
• B₁B₂ =B₂B₃ ...

Märge: Sekantide omavaheline lõikumine ei mängi rolli, st teoreem kehtib nii lõikuvate sirgete kui ka paralleelsete puhul. Samuti pole oluline segmentide asukoht sekantidel.

Üldine formulatsioon

Thalese teoreem on erijuhtum proportsionaalse segmendi teoreemid*: paralleelsed jooned lõikavad proportsionaalseid segmente lõikekohtades.

Vastavalt sellele kehtib meie ülaltoodud joonise puhul järgmine võrdsus:

* kuna võrdsed lõigud, sealhulgas, on võrdelised proportsionaalsuskoefitsiendiga, mis on võrdne ühega.

Thalese pöördteoreem

1. Lõikuvate sekantide jaoks

Kui sirged lõikuvad kaks teist sirget (paralleelsed või mitte) ja lõikavad neist maha võrdsed või proportsionaalsed lõigud, alustades ülalt, siis on need sirged paralleelsed.

Pöördteoreemist tuleneb:

Nõutav tingimus: võrdsed segmendid peaksid algama ülevalt.

2. Paralleelsekantide jaoks

Mõlema sektsiooni segmendid peavad olema üksteisega võrdsed. Ainult sel juhul on teoreem rakendatav.

• a || b
• A₁A₂ =B₁B₂ = A₂A₃ =B₂B₃ ...

Näide probleemist

Antud segment AB pinnal. Jagage see 3 võrdseks osaks.

Lahendus

Joonista punktist A otsene a ja märkige sellele kolm järjestikust võrdset lõiku: AC, CD и DE.

äärmuslik punkt E sirgjoonel a ühenda punktiga B segmendil. Pärast seda ülejäänud punktide kaudu C и D paralleelselt BE tõmmake kaks lõiku lõikuvat joont AB.

Sel viisil moodustatud lõikepunktid lõigul AB jagavad selle kolmeks võrdseks osaks (vastavalt Thalese teoreemile).