Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem

Selles väljaandes käsitleme lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi (SLAE) määratlust, selle välimust, tüüpe ja ka seda, kuidas seda esitada maatriksi kujul, sealhulgas laiendatud kujul.

Lineaarvõrrandisüsteemi definitsioon

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem (või lühidalt "SLAU") on süsteem, mis näeb üldiselt välja selline:

• m on võrrandite arv;
• n on muutujate arv.
• x₁, x₂,…, x_n - teadmata;
• a₁₁,₁₂…, a_mn – tundmatute koefitsiendid;
• b₁b₂,…, b_m - tasuta liikmed.

Koefitsientide indeksid (a_ij) moodustatakse järgmiselt:

• i on lineaarvõrrandi arv;
• j on muutuja number, millele koefitsient viitab.

SLAU lahendus - sellised numbrid c₁C₂,…, c_n , mille seades asemel x₁, x₂,…, x_n, muutuvad kõik süsteemi võrrandid identiteetideks.

SLAU tüübid

1. Homogeenne – süsteemi kõik vabad liikmed on võrdsed nulliga (b₁ =b₂ = … = b_m = 0).

   

2. Heterogeenne – kui ülaltoodud tingimus ei ole täidetud.
3. ruut – võrrandite arv võrdub tundmatute arvuga, st m = n.

   

4. Alamääratud – tundmatute arv on suurem kui võrrandite arv.

   

5. ületatud Võrrandeid on rohkem kui muutujaid.

   

Sõltuvalt lahenduste arvust võib SLAE olla:

1. Ühine on vähemalt üks lahendus. Veelgi enam, kui see on kordumatu, nimetatakse süsteemi kindlaks, kui lahendusi on mitu, nimetatakse seda määramatuks.

   

   Ülaltoodud SLAE on liigend, kuna on olemas vähemalt üks lahendus: x = 2, y = 3.

2. Sobimatu Süsteemil pole lahendusi.

   

   Võrrandite paremad küljed on samad, kuid vasakpoolsed mitte. Seega lahendusi ei ole.

Süsteemi maatrikstähistus

SLAE-d saab esitada maatriksi kujul:

AX = B

• A on maatriks, mille moodustavad tundmatute koefitsiendid:

  

• X – muutujate veerg:

  

• B - vabaliikmete veerg:

  

Näide

Esitame allolevat võrrandisüsteemi maatriksi kujul:

Kasutades ülaltoodud vorme, koostame koefitsientidega põhimaatriksi, tundmatute ja vabaliikmetega veerud.

Antud võrrandisüsteemi täielik kirje maatriksi kujul:

Laiendatud SLAE maatriks

Kui süsteemi maatriksile A lisage paremale tasuta liikmete veerg B, eraldades andmed vertikaalse ribaga, saate SLAE laiendatud maatriksi.

Ülaltoodud näite puhul näeb see välja järgmine:

– laiendatud maatriksi tähistus.