Mis on funktsiooni piir

Käesolevas väljaandes käsitleme üht matemaatilise analüüsi põhimõistet – funktsiooni piiri: selle definitsiooni, aga ka erinevaid lahendusi koos praktiliste näidetega.

Funktsiooni piiri määramine

Funktsiooni piirang – väärtus, milleni selle funktsiooni väärtus kaldub, kui selle argument kaldub piirpunkti.

Limiitkirje:

• piiri tähistab ikoon lim;
• alla on lisatud, mis väärtusele funktsiooni argument (muutuja) kaldub. Tavaliselt see x, kuid mitte tingimata, näiteks:x→1″;
• siis lisatakse paremale funktsioon ise, näiteks:

  

Seega näeb limiidi lõplik rekord välja selline (meie puhul):

Loeb nagu "funktsiooni piir, kui x kaldub ühtsusele".

x→ 1 – see tähendab, et “x” võtab järjekindlalt väärtusi, mis lõpmatult lähenevad ühtsusele, kuid ei lange sellega kunagi kokku (selleni ei jõuta).

Otsuste piirid

Etteantud numbriga

Lahendame ülaltoodud piirangu. Selleks asendage funktsioonis lihtsalt üksus (sest x→1):

Seega proovime limiidi lahendamiseks esmalt lihtsalt asendada antud arvu selle all oleva funktsiooniga (kui x kaldub kindlale arvule).

Lõpmatusega

Sel juhul suureneb funktsiooni argument lõpmatult, see tähendab, "X" kipub lõpmatuseni (∞). Näiteks:

If x→∞, siis kaldub antud funktsioon miinus lõpmatusse (-∞), sest:

• 3 - 1 = 2
• 3-10 = -7
• 3-100 = -97
• 3 – 1000 – 997 jne.

Veel üks keerulisem näide

Selle piiri lahendamiseks lihtsalt suurendage väärtusi x ja vaadake antud juhul funktsiooni "käitumist".

• RџSЂRё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSЂRё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Seega, eest "X"lõpmatusse kalduv funktsioon x² + 3x - 6 kasvab lõputult.

Ebakindlusega (x kipub lõpmatusse)

Sel juhul räägime piiridest, kui funktsioon on murd, mille lugejaks ja nimetajaks on polünoomid. Kus "X" kipub lõpmatuseni.

Näide: arvutame allpool oleva limiidi.

Lahendus

Avaldised nii lugejas kui ka nimetajas kipuvad lõpmatuseni. Võib eeldada, et antud juhul on lahendus järgmine:

Siiski pole kõik nii lihtne. Piirangu lahendamiseks peame tegema järgmist.

1. Leidke x lugeja kõrgeima astmeni (meie puhul on see kaks).

2. Samamoodi määratleme x nimetaja suurima astmeni (võrdub ka kahega).

3. Nüüd jagame nii lugeja kui ka nimetaja arvuga x vanemas astmes. Meie puhul mõlemal juhul – teisel, aga kui need oleksid erinevad, tuleks võtta kõrgeim aste.

4. Saadud tulemuses kipuvad kõik murrud nulli jääma, seetõttu on vastus 1/2.

Ebakindlusega (x kaldub konkreetsele arvule)

Nii lugeja kui ka nimetaja on siiski polünoomid, "X" kaldub konkreetsele arvule, mitte lõpmatuseni.

Sel juhul paneme tinglikult silmad kinni selle ees, et nimetaja on null.

Näide: Leiame allpool funktsiooni piirangu.

Lahendus

1. Esmalt asendame numbri 1 funktsiooniga, millega "X". Saame vaadeldava vormi määramatuse.

2. Järgmisena lagundame lugeja ja nimetaja teguriteks. Selleks saab kasutada lühendatud korrutusvalemeid, kui need sobivad, või.

Meie puhul on avaldise juured lugejas (2x² – 5x + 3 = 0) on numbrid 1 ja 1,5. Seetõttu võib seda esitada järgmiselt: 2 (x-1) (x-1,5).

Nimetaja (x–1) on esialgu lihtne.

3. Saame sellise muudetud limiidi:

4. Murdu saab vähendada (x–1):

5. Jääb vaid asendada piirangu all saadud avaldis arv 1: