Kompleksarvu tõstmine loomuliku astmeni

Selles väljaandes vaatleme, kuidas saab kompleksarvu tõsta astmeks (sealhulgas kasutades De Moivre'i valemit). Teoreetilisele materjalile on parema arusaamise huvides lisatud näited.

Kompleksarvu tõstmine astmeks

Esiteks pidage meeles, et kompleksarvul on üldkuju: z = a + bi (algebraline vorm).

Nüüd saame jätkata otse probleemi lahendamisega.

Ruutnumber

Me võime esitada kraadi samade tegurite korrutisena ja seejärel leida nende toote (seda meeles pidades i² =-1).

z² = (a + bi)² = (a + bi) (a + bi)

Näide 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i) (3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Võite kasutada ka summa ruutu:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Märge: Samamoodi saab vajadusel valemeid vahe ruudu, summa/vahe kuubi jms kohta.

N aste

Tõstke kompleksarv z mitterahaliselt n palju lihtsam, kui see on esitatud trigonomeetrilisel kujul.

Tuletage meelde, et üldiselt näeb numbri tähistus välja selline: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Astendamiseks võite kasutada De Moivre'i valem (nimetatud inglise matemaatiku Abraham de Moivre'i järgi):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Valem saadakse trigonomeetrilisel kujul kirjutades (moodulid korrutatakse ja argumendid liidetakse).

Näiteks 2

Tõstke kompleksarv z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) kaheksanda astmeni.

Lahendus

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).