Kompleksarvu juure eraldamine

Selles väljaandes vaatleme, kuidas saab võtta kompleksarvu juure ja kuidas see võib aidata lahendada ruutvõrrandeid, mille diskriminant on väiksem kui null.

Kompleksarvu juure eraldamine

Ruutjuur

Nagu me teame, on negatiivse reaalarvu juure leidmine võimatu. Kuid kui tegemist on kompleksarvudega, saab seda toimingut teha. Selgitame välja.

Oletame, et meil on number z = -9. Foorum √-9 on kaks juurt:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Kontrollime saadud tulemusi võrrandi lahendamisega z² =-9, seda unustamata i² =-1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Seega oleme seda tõestanud -3i и 3i on juured √-9.

Negatiivse arvu juur kirjutatakse tavaliselt järgmiselt:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i ja nii edasi

Juur n astmeni

Oletame, et meile on antud vormi võrrandid z = ⁿ√w… Sellel on n juured (z₀, Ning₁, Ning₂,…, z_n-1), mille saab arvutada järgmise valemi abil:

|w| on kompleksarvu moodul w;

φ – tema argument

k on parameeter, mis võtab järgmised väärtused: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Keeruliste juurtega ruutvõrrandid

Negatiivse arvu juure ekstraheerimine muudab uXNUMXbuXNUMXb tavalist ideed. Kui diskrimineeriv (D) on väiksem kui null, siis reaaljuuri ei saa olla, kuid neid saab esitada kompleksarvudena.

Näide

Lahendame võrrandi x² – 8x + 20 = 0.

Lahendus

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64-80 = -16

D < 0, kuid me saame siiski võtta negatiivse diskrimineerija juure:

√D = √-16 = ±4i

Nüüd saame arvutada juured:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Seetõttu võrrand x² – 8x + 20 = 0 sellel on kaks keerulist konjugeeritud juurt:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i