Täisnurkse kolmnurga kõrguse omadused

Selles väljaandes käsitleme täisnurkse kolmnurga kõrguse peamisi omadusi ja analüüsime ka selleteemaliste probleemide lahendamise näiteid.

Märge: kolmnurka nimetatakse ristkülikukujuline, kui üks selle nurkadest on täisnurkne (võrdne 90°) ja ülejäänud kaks on teravnurk (<90°).

Kõrguse omadused täisnurkses kolmnurgas

Vara 1

Täisnurksel kolmnurgal on kaks kõrgust (h₁ и h₂) langevad kokku selle jalgadega.

kolmas kõrgus (h₃) laskub täisnurga all hüpotenuusile.

Vara 2

Täisnurkse kolmnurga ortotsenter (kõrguste lõikepunkt) asub täisnurga tipus.

Vara 3

Hüpotenuusile tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus jagab selle kaheks sarnaseks täisnurkseks kolmnurgaks, mis on samuti sarnased algse kolmnurgaga.

1. △ABD ~ △ABC kahe võrdse nurga all: ∠ADB = ∠LAC (sirged jooned), ∠ABD = ∠ABC.

2. △ADC ~ △ABC kahe võrdse nurga all: ∠ADC = ∠LAC (sirged jooned), ∠ACD = ∠ACB.

3. △ABD ~ △ADC kahe võrdse nurga all: ∠ABD = ∠DAC, ∠BAD = ∠ACD.

Tõend: ∠BAD = 90° – ∠ABD (ABC). Samal ajal ∠ACD (ACB) = 90° – ∠ABC.

Seetõttu ∠BAD = ∠ACD.

Sarnaselt saab tõestada, et ∠ABD = ∠DAC.

Vara 4

Täisnurkses kolmnurgas arvutatakse hüpotenuusile tõmmatud kõrgus järgmiselt:

1. Hüpotenuusil olevate segmentide kaudu, mis on moodustatud selle jagamise tulemusena kõrguse alusega:

2. Läbi kolmnurga külgede pikkuste:

See valem on tuletatud Teravnurga siinuse omadused täisnurkses kolmnurgas (nurga siinus võrdub vastasjala ja hüpotenuusi suhtega):

Märge: täisnurksele kolmnurgale kehtivad ka meie väljaandes esitatud üldised kõrguse omadused.

Näide probleemist

1. ülesanne

Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus jagatakse sellele tõmmatud kõrgusega segmentideks 5 ja 13 cm. Leidke selle kõrguse pikkus.

Lahendus

Kasutame esimest valemit, mis on esitatud Vara 4:

2. ülesanne

Täisnurkse kolmnurga jalad on 9 ja 12 cm. Leidke hüpotenuusile tõmmatud kõrguse pikkus.

Lahendus

Kõigepealt leiame hüpotenuusi pikkuse (olgu kolmnurga jalad "kuni" и "B", ja hüpotenuus on "vs"):

c² = A² + b² = 9² + 12² = 225.

Järelikult с = 15 cm.

Nüüd saame rakendada teist valemit alates Omadused 4eespool arutatud: