Selles väljaandes vaatleme, mis on Gaussi meetod, miks seda vaja on ja mis on selle põhimõte. Samuti demonstreerime praktilise näite abil, kuidas meetodit saab rakendada lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks.
Gaussi meetodi kirjeldus
Gaussi meetod on klassikaline meetod muutujate järjestikuseks kõrvaldamiseks, mida kasutatakse lahendamiseks. See on oma nime saanud saksa matemaatiku Carl Friedrich Gaussi (1777-1885) järgi.
Kuid kõigepealt meenutagem, et SLAU suudab:
- on üksainus lahendus;
- omama lõpmatu arvu lahendusi;
- olema kokkusobimatud, st neil pole lahendusi.
Praktilised eelised
Gaussi meetod on suurepärane viis SLAE lahendamiseks, mis sisaldab rohkem kui kolme lineaarset võrrandit, aga ka süsteeme, mis ei ole ruudukujulised.
Gaussi meetodi põhimõte
Meetod sisaldab järgmisi samme:
- otse – võrrandisüsteemile vastav suurendatud maatriks taandatakse ridade kohal ülemisele kolmnurksele (astmelisele) kujule, st põhidiagonaali all peaksid olema ainult nulliga võrdsed elemendid.
- tagasi – saadud maatriksis seatakse põhidiagonaali kohal olevad elemendid samuti nulli (alumine kolmnurkvaade).
SLAE lahenduse näide
Lahendame alloleva lineaarvõrrandisüsteemi Gaussi meetodil.
Lahendus
1. Alustuseks esitame SLAE laiendatud maatriksi kujul.
2. Nüüd on meie ülesandeks lähtestada kõik põhidiagonaali all olevad elemendid. Edasised toimingud sõltuvad konkreetsest maatriksist, allpool kirjeldame neid, mis meie juhtumi puhul kehtivad. Esiteks vahetame ridu, asetades seega nende esimesed elemendid kasvavas järjekorras.
3. Lahutage teisest reast kaks korda esimene ja kolmandast - kolmekordistage esimene.
4. Lisage teine rida kolmandale reale.
5. Lahutage esimesest reast teine rida ja jagage samal ajal kolmas rida -10-ga.
6. Esimene etapp on lõpetatud. Nüüd peame saama põhidiagonaali kohal olevad nullelemendid. Selleks lahutage esimesest reast kolmas korrutatuna 7-ga ja lisage kolmas korrutatuna 5-ga teisele.
7. Lõplik laiendatud maatriks näeb välja selline:
8. See vastab võrrandisüsteemile:
Vastus: juur SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.