Pöördmaatriksi leidmine

Selles väljaandes vaatleme, mis on pöördmaatriks, ja analüüsime ka praktilise näite abil, kuidas seda spetsiaalse valemi ja järjestikuste toimingute algoritmi abil leida.

Pöördmaatriksi definitsioon

Kõigepealt meenutagem, mis on pöördarvud matemaatikas. Oletame, et meil on arv 7. Siis on selle pöördväärtus 7^-1 or ¹/₇. Kui need arvud korrutada, on tulemuseks üks ehk 7 7^-1 = 1.

Peaaegu sama ka maatriksitega. Vastupidine nimetatakse sellist maatriksit, mille korrutamisel algse maatriksiga saame identiteedi maatriksi. Ta on märgistatud kui A^-1.

A · A^-1 =E

Algoritm pöördmaatriksi leidmiseks

Pöördmaatriksi leidmiseks pead oskama arvutada maatrikseid, samuti omama oskusi nendega teatud toiminguid sooritada.

Tuleb kohe märkida, et pöördväärtuse saab leida ainult ruutmaatriksi jaoks ja seda tehakse järgmise valemi abil:

|A| – maatriksdeterminant;

A^T_M on algebraliste liitmiste transponeeritud maatriks.

Märge: kui determinant on null, siis pöördmaatriksit ei eksisteeri.

Näide

Leiame maatriksi jaoks A allpool on selle tagurpidi.

Lahendus

1. Kõigepealt leiame antud maatriksi determinandi.

2. Nüüd teeme maatriksi, mille mõõtmed on samad kui algsel:

Peame välja mõtlema, millised numbrid peaksid tärnid asendama. Alustame maatriksi ülemisest vasakpoolsest elemendist. Selle alamoor leitakse, tõmmates maha selle rea ja veeru, milles see asub, st mõlemal juhul number üks.

Arv, mis jääb pärast läbikriipsutamist, on nõutav minoor, st M₁₁ = 8.

Samamoodi leiame maatriksi ülejäänud elementide jaoks minorid ja saame järgmise tulemuse.

3. Defineerime algebraliste liitmiste maatriksi. Kuidas neid iga elemendi jaoks arvutada, käsitlesime eraldi.

Näiteks elemendi jaoks a₁₁ algebralist liitmist peetakse järgmiselt:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. Tehke saadud algebraliste liitmiste maatriksi transpositsioon (st vahetage veerud ja read).

5. Pöördmaatriksi leidmiseks jääb üle kasutada ülaltoodud valemit.

Võime jätta vastuse sellele kujule, jagamata maatriksi elemente arvuga 11, kuna sel juhul saame koledad murdarvud.

Tulemuse kontrollimine

Veendumaks, et saime algse maatriksi pöördväärtuse, leiame nende korrutise, mis peaks võrduma identiteedimaatriksiga.

Selle tulemusena saime identiteedimaatriksi, mis tähendab, et tegime kõik õigesti.