Käesolevas väljaandes käsitleme üht Eukleidilise geomeetria põhiteoreemi – Stewarti teoreemi, mis sai sellise nimetuse inglise matemaatiku M. Stewarti auks, kes seda tõestas. Esitatud materjali konsolideerimiseks analüüsime üksikasjalikult ka probleemi lahendamise näidet.
Teoreemi väide
Dani kolmnurk ABC. Tema kõrval AC sain aru D, mis on ülaosaga ühendatud B. Aktsepteerime järgmist märkust:
- AB = a
- eKr = b
- BD = p
- AD = x
- DC = ja
Selle kolmnurga puhul kehtib võrdsus:
Teoreemi rakendamine
Stewarti teoreemist saab tuletada valemeid kolmnurga mediaanide ja poolitajate leidmiseks:
1. Poolitaja pikkus
Laskma lc on poolitaja tõmmatud küljele c, mis on jagatud segmentideks x и y. Võtame kolmnurga ülejäänud kaks külge kui a и b… Sel juhul:
2. Keskmine pikkus
Laskma mc on mediaan pööratud allapoole küljele c. Tähistame kolmnurga ülejäänud kaks külge kui a и b… Siis:
Näide probleemist
Kolmnurk antud ABC. Küljel AC võrdub 9 cm, sain aru D, mis jagab külje nii, et AD kaks korda kauem DC. Tipu ühendava lõigu pikkus B ja punkt D, on 5 cm. Sel juhul moodustatud kolmnurk ABD on võrdhaarne. Leidke kolmnurga ülejäänud küljed ABC.
Lahendus
Kujutame ülesande tingimusi joonise kujul.
AC = AD + DC = 9 cm. AD enam DC kaks korda, st AD = 2DC.
Järelikult 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. Niisiis, DC = 3 cm, AD = 6 cm.
Sest kolmnurk ABD – võrdhaarne ja külg AD on 6 cm, seega on need võrdsed AB и BDIe AB = 5 cm.
Jääb vaid leida BC, tuletades valemi Stewarti teoreemist:
Asendame teadaolevad väärtused selle avaldisega:
Sel viisil BC = √52 ≈ 7,21 cm.