Sisu
Selles väljaandes käsitleme maatriksi auastme määratlust ja selle leidmise meetodeid. Analüüsime ka näiteid, et demonstreerida teooria rakendamist praktikas.
Maatriksi järgu määramine
Maatriksi auaste on selle ridade või veergude süsteemi auaste. Igal maatriksil on oma ridade ja veergude auastmed, mis on üksteisega võrdsed.
Reasüsteemi auaste on lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalne arv. Veerusüsteemi auaste määratakse kindlaks sarnasel viisil.
Märkused:
- Nullmaatriksi aste (tähistatud sümboliga "θ“) mis tahes suuruses on null.
- Iga nullist erineva reavektori või veeruvektori auaste on võrdne ühega.
- Kui mis tahes suurusega maatriks sisaldab vähemalt ühte elementi, mis ei ole võrdne nulliga, ei ole selle aste väiksem kui üks.
- Maatriksi aste ei ole suurem kui selle minimaalne mõõde.
- Maatriksil tehtud elementaarsed teisendused ei muuda selle auastet.
Maatriksi järgu leidmine
Fringing Minor meetod
Maatriksi aste on võrdne nullist erineva maksimaalse järguga.
Algoritm on järgmine: leida alaealised madalaimast järkudest kõrgeimateni. Kui alaealine njärjekord ei ole võrdne nulliga ja kõik järgnevad (n+1) on 0, seega on maatriksi auaste n.
Näide
Et see oleks selgem, võtame praktilise näite ja leiame maatriksi auaste A allpool, kasutades alaealiste piiritlemise meetodit.
Lahendus
Tegemist on 4 × 4 maatriksiga, seetõttu ei saa selle aste olla kõrgem kui 4. Maatriksis on ka nullist erinevaid elemente, mis tähendab, et selle aste ei ole väiksem kui üks. Nii et alustame:
1. Alustage kontrollimist teise järgu alaealised. Alustuseks võtame esimesest ja teisest veerust kaks rida.
Minor võrdub nulliga.
Seetõttu liigume järgmise minoori juurde (esimene veerg jääb alles ja teise asemel võtame kolmanda).
Minor on 54≠0, seega on maatriksi auaste vähemalt kaks.
Märge: Kui see moll osutus nulliks, kontrollime täiendavalt järgmisi kombinatsioone:
Vajadusel võib loendust jätkata samamoodi stringidega:
- 1 ja 3;
- 1 ja 4;
- 2 ja 3;
- 2 ja 4;
- 3 ja 4.
Kui kõik teist järku alaealised oleksid võrdsed nulliga, oleks maatriksi auaste võrdne ühega.
2. Meil õnnestus peaaegu kohe leida endale sobiv alaealine. Nii et liigume edasi kolmanda järgu alaealised.
Teist järku leitud mollile, mis andis nullist erineva tulemuse, lisame ühe rea ja ühe rohelisega esile tõstetud veergu (alustame teisest).
Alaealine osutus nulliks.
Seetõttu muudame teise veeru neljandaks. Ja teisel katsel õnnestub leida molli, mis ei ole võrdne nulliga, mis tähendab, et maatriksi auaste ei saa olla väiksem kui 3.
Märge: kui tulemus osutuks taas nulliks, siis teise rea asemel võtaksime neljanda edasi ja jätkaksime “hea” molli otsinguid.
3. Nüüd jääb üle kindlaks teha neljanda järgu alaealised varem leitu põhjal. Sel juhul sobib see maatriksi determinandiga.
Minor võrdub 144≠0. See tähendab, et maatriksi auaste A võrdub 4.
Maatriksi redutseerimine astmelisele kujule
Astmemaatriksi auaste on võrdne selle nullist erineva ridade arvuga. See tähendab, et meil pole vaja teha muud, kui viia maatriks sobivasse vormi, kasutades näiteks , mis, nagu eespool mainitud, ei muuda selle järjestust.
Näide
Leidke maatriksi auaste B allpool. Me ei võta liiga keerulist näidet, sest meie peamine eesmärk on lihtsalt demonstreerida meetodi rakendamist praktikas.
Lahendus
1. Esmalt lahutage teisest realt kahekordistunud esimene.
2. Nüüd lahutage esimene rida kolmandast reast, korrutatuna neljaga.
Seega saime astmemaatriksi, milles nullist erinevate ridade arv on võrdne kahega, seega on ka selle järk võrdne 2-ga.